news.shamcode.ru | W-функция Ламберта и ее приложения

Введение

Математический анализ знает множество прекрасных функций с необычными свойствами. Среди них интегральные синус и логарифм , также нельзя не отметить гамма-функцию $\Gamma(x)$ или очень известную дзета-функцию Римана $\zeta(s)$ . Но сегодня я предлагаю читателю посмотреть на функцию W-Ламберта

Что такое W-функция Ламберта?

Для того, чтобы понять, что такое W-функция Ламберта, достаточно посмотреть на следующее равенство, которое по аналогии с основным тригометрическим тождеством предлагаю именовать "основное Ламбертово тождество":

$W(x)e^{W(x)} = x$

Другими словами, функция Ламберта - обратная для . Однако после первых же исследований станет понятно, что не инъективна, а именно одно и то же значение достигается при двух разных аргументах, если $y \in (-e^{-1}; 0)$ . Поэтому данное выше определение требует пояснений.

Исследовав производную функции , понимаем, что функция возрастает на $[-1; +\infty)$ и убывает на $(-\infty; -1]$ . Таким образом, давайте построим обратную функцию к данной на соответствующих промежутках монотонности.

Графики W-функции Ламберта (черный) и y = xe^x (серый)

Ветвь, для которой $y\in [-1; +\infty)$ , называется $W_{0}(x)$ , другая - $W_{-1}(x)$ .

Постановка задачи

Задача. Научиться находить действительные корни уравнения следующего вида:

$x^pe^x=q \\p \in \mathbb{Q} \ \backslash \ \mathbb{Z}, q\in\mathbb{R_{+}}$

Как вы, наверное, уже догадались, для решения будем использовать W-функцию Ламберта. Итак, сначала возведем и левую, и правую часть в степень $p^{-1}$ (это преобразование не является равносильным при четных целых , а при нечетных нужно будет расширять множество значений до всех действительных чисел, поэтому решаем задачу для указанных выше ограничений).

$xe^{\frac{x}p} = q^{\frac{1}{p}}$

Теперь для того, чтобы воспользоваться основным Ламбертовым тождеством, нам нужно получить выражение с такое, как и в показателе степени экспоненты. Для этого поделим и левую, и правую часть на .

$\frac{x}{p}e^{\frac{x}{p}}=\frac{q^{\frac{1}{p}}}{p}$

И теперь мы можем воспользоваться основным Ламбертовым тождеством:

$\frac{x}{p}=W(\frac{q^\frac{1}{p}}{p})$

Откуда и получаем уже итоговую формулу для .

$x = p*W(\frac{q^\frac{1}{p}}{p})$

Вычисление W-функции Ламберта

Заметим, что при $x\in (-e^{-1}; 0)$ функция Ламберта дает два действительных значения: по одному на каждой из ветвей $W_{0}(x)$ и $W_{-1}(x)$ соответственно. В этом случае у изначального уравнения будет 2 корня.

Вычисление W₀. Будем использовать метод бинарного поиска по ответу. Мы можем так поступить, поскольку $W_{0}(x)$ возрастает на $[-e^{-1}; +\infty)$ .

Левая граница бинарного поиска понятна и равна. Теперь возникает вопрос, как выбрать правую границу. Первая идея, которая приходит на ум: положить ее равной , ибо верно неравенство $x \geq W(x)$ , причем равенство достигается только в нуле.

$x \geq W(x) \iff x \geq \frac{x}{e^{W(x)}} \iff (e^{W(x)}-1)x \geq0$

Однако для достаточно больших это может быть не лучшим вариантом. Поэтому давайте посмотрим на другой: выберем правую границу равной .

$ln(x) \geq W(x) \iff x \geq e^{W(x)} \iff x\geq \frac{x}{W(x)} \iff x(\frac{W(x)-1}{W(x)})\geq0 \\ x\geq e$

Итого: при $-e^{-1}\leq x\leq e$ правой границей выбираем , а при берем .

Графики y = x (синий), y = W(x) (зеленый) и y = ln(x) (красный)

Ассимптотика: $O(\frac{ln(x)}{prec})$ , prec - изначально выбранная точность (например, 10^-12)

Вычисление W_-1. Здесь будем использовать следующее бесконечное выражение для $W_{-1}(x)$ :

$W_{-1}(x)=ln\frac{-x}{-ln\frac{-x}{\dots}}$

Чем глубже мы спускаемся, тем выше точность вычислений.

Реализация на Python

from math import *

def LambertW0(x):
    left = -1
    right = x if x <= e else log(x)
    prec = 10**-12 # точность
    # бинарный поиск
    while right - left > prec:
        mid = (right + left) / 2
        if mid * exp(mid) > x:
            right = mid
        else:
            left = mid
    return right

def LambertW_1(x, t): # t - показатель точности
    if t == 100:
      	return log(-x)
    else:
      	return log((-x)/(-LambertW_1(x, t + 1)))

def sol(p, q):
    s = q**(1/p) / p
    if s < -exp(-1):
        return "No real solutions"
    ans = "Solutions: " + str(p * LambertW0(s)) + " "
    if -exp(-1) < s and s < 0:
      	ans += str(p * LambertW_1(s, 0))
    return ans
    

p = float(input())
q = float(input())
print(sol(p, q))

Проверка

Уравнение 1. $x^{-\frac{3}{2}}e^x = 2$

Графики y = x^(-1.5)*e^x (фиолетовый) и y = 2 (синий)

Уравнение 2. $x^{\frac{21}{10}}e^x=3$

Графики y = x^2.1*e^x (фиолетовый) и y = 3 (синий)

Уравнение 3. $x^{-\frac{3}{4}}e^x=4$

Графики y = x^(-0.75)*e^x (фиолетовый) и y = 4 (синий)

Заключение / выводы

Значения на 0 и -1 ветви W-функции Ламберта могут быть достаточно точно вычислены за короткое время, что делает возможным решение некоторых типов уравнений.