В принципе, эта невероятная математическая задача позволяет создать бесклеевой мост из положенных друг на друга блоков, который может протянуться через Гранд-Каньон — и даже в бесконечность

Вот удивительный эксперимент, который вы можете попробовать провести у себя дома: соберите несколько игрушечных блоков и положите их на стол. Возьмите один блок и медленно, сантиметр за сантиметром, продвигайте его за край стола, пока он не окажется на грани падения. Если у вас есть терпение и твёрдая рука, у вас должно получиться сбалансировать его так, чтобы ровно половина свисала с края. Стоит сдвинуть его ещё дальше, и гравитация победит. Теперь возьмите два блока и начните сначала. Укладывая один блок на другой, как далеко вы сможете завести конец верхнего блока, чтобы он высунулся за край стола?

Продолжайте. Укладывая как можно больше блоков, какого наибольшего выступа за край вы можете достичь, прежде чем вся конструкция рухнет? Возможно ли, чтобы башня выходила за пределы стола на всю длину блока? Позволяет ли физика выходить на два блока? Ошеломляющий ответ заключается в том, что мостик может тянуться бесконечно. В принципе, отдельно стоящая стопка блоков может перекинуться через Гранд-Каньон, и для этого вам не понадобится клей.

Пока не стоит нажимать кнопку «оформить заказ» на бесконечную пачку блоков «Дженги». Реальные практические аспекты, такие как неправильная форма блоков, воздушные потоки и сокрушительный вес бесконечной конструкции, могут помешать вашим инженерным устремлениям. Тем не менее, понять, почему свес не имеет предела в идеальном математическом мире, будет весьма познавательно. Объяснение основано на гармоническом ряде и концепции центра масс в физике — двух, казалось бы, простых идеях, обладающих огромной силой.

Возможно, интуиция подскажет вам, что одиночный блок может вывесить половину своей массы за край стола, прежде чем опрокинется. Но почему это так? У каждого предмета есть центр масс — воображаемая точка, в которой мы мысленно концентрируем весь вес предмета, думая о равновесии. Пока центр масс находится над столом, предмет стоит на месте. Однако как только центр масс перейдёт через край, гравитация потянет за собой весь предмет. В случае с ложкой, предметом с неравномерным распределением веса, мы можем подвесить более половины ручки предмета над краем, прежде чем он опрокинется, потому что центр масс находится ближе к головке, где находится большая часть веса. Для нашего моста мы предполагаем, что все блоки одинаковые, с равномерной плотностью (то есть они не плотнее в одних частях, чем в других), поэтому центр масс каждого из них находится в центральной точке.

Когда мы добавляем больше блоков, мы должны учитывать центр масс всей башни. Рассмотрим случай с двумя блоками. Мы знаем, что верхний блок может выдвинуть половину своей массы за пределы того, что находится под ним. Но как далеко мы сможем выдвинуть нижний блок?

Для простоты предположим, что длина каждого блока равна одной единице длины, а масса — одной единице массы. Вы увидите, что нижний блок может высунуться только на четверть своей длины (по сравнению с половиной его длины над краем стола в том случае, когда он был там один). В этот момент центр масс верхнего блока и центр масс нижнего блока находятся на равном расстоянии от края стола (центр масс верхнего блока расположен на четверть правее края, а центр масс нижнего блока — на четверть левее края). Таким образом, объединённый центр масс системы из двух блоков находится в идеальном равновесии над краем стола.

Когда мы продолжаем добавлять блоки в структуру, возникнет закономерность. Верхний блок выходит на 1⁄2 за пределы расположенного под ним, второй — на 1⁄4 за пределы расположенного под ним, третий — на 1⁄6, четвёртый — на 1⁄8, последующие блоки — на 1⁄10, 1⁄12 и так далее. Чтобы понять, почему, давайте рассмотрим другой пример.

Предположим, у нас есть устойчивая башня, состоящая из пяти блоков, и мы хотим добавить шестой блок под ней, а затем сдвинуть всю конструкцию за край настолько, насколько это возможно. Полезно представить себе эту картину в виде двух блоков: один с массой 5 и один с массой 1. Сначала мы сдвинем тяжёлый блок так далеко, чтобы его центр масс оказался прямо над краем нижнего блока. Затем мы можем выдвинуть нижний блок ровно на 1⁄12 единицы длины за край стола. Откуда мы это знаем?

И снова ответ сводится к уравновешиванию центров масс двух блоков, только на этот раз, поскольку нижний блок в пять раз легче, его центр масс должен оказаться в пять раз дальше на столешнице, чтобы противостоять весу более тяжёлого блока. Это известно как закон рычага — подумайте о том, что книга кажется тем тяжелее в вашей ладони, чем дальше вы отодвигаете её от тела, так что вес карманной книжицы в полностью вытянутой руке может ощущаться эквивалентно весу толстого учебника, прижатого к туловищу. Расстояние между центром масс верхнего блока и краем стола составляет 1⁄12, а расстояние для нижнего блока: 1⁄2 — 1⁄12 = 5⁄12, или в пять раз больше. Аналогичный расчёт позволяет определить правильный свес на каждом уровне башни.

Ответ на наш начальный вопрос (насколько далеко может выдвинуться башня?) сводится к сложению всех этих последовательных выступов. Если у вас есть 10 блоков, то они могут выдвинуться за край стола на 1⁄2 + 1⁄4 + 1⁄6 + 1⁄8 + 1⁄10 + 1⁄12 + 1⁄14 + 1⁄16 + 1⁄18 + 1⁄20, что в сумме составляет примерно 1,464 длины блока. Но каков предел того, как далеко мы можем укладывать блоки? Для этого мы должны добавить бесконечно много таких уменьшающихся дробей. Получившаяся картина поразительно напоминает одну из самых известных бесконечных сумм в математике — гармонический ряд, который берёт обратную величину каждого натурального числа (то есть 1, делённую на каждое целое положительное число) и суммирует их все: 1 + 1⁄2 + 1⁄3 + 1⁄4 + 1⁄5 + ..., и так до бесконечности.

Если вы внимательно присмотритесь, то заметите, что нависания в задаче об укладке блоков составляют ровно половину каждого из этих членов: 1⁄2 + 1⁄4 + 1⁄6 + 1⁄8 + 1⁄10 + ...

Матанализ, отрасль математики, изучающая, как изменяются вещи, учит нас, что даже при сложении бесконечно большого числа уменьшающихся членов сумма иногда сходится к конечному значению, а иногда расходится до бесконечности. Сумма гармонического ряда растёт невероятно медленно. Первые 100 000 членов дают в сумме около 12,1, а первый миллион членов равен всего лишь 14,4. Тем не менее, с неумолимой скоростью ползущей улитки гармонический ряд растёт бесконечно.

Каждый отдельный выступ в задаче об укладке блоков равен половине члена гармонического ряда. Поскольку половина бесконечности — это всё равно бесконечность, потенциальная величина свесов башни также не имеет границ.

Конечно, перевод чистой математики в практическую плоскость всегда сопряжён с трудностями, но задача с укладкой блоков предлагает забавный вызов ловкости рук. Имея всего четыре блока, вы должны суметь выдвинуть верхний блок на целую длину блока за край (1⁄2 + 1⁄4 + 1⁄6 + 1⁄8 = ~1,042). Чтобы выполнить свой журналистский долг, я попробовал сделать это дома с игральными картами на журнальном столике. После нескольких минут возни мне удалось уравновесить верхнюю карту чуть дальше края, при этом она полностью свисала со стола, и я почувствовал себя фокусником.

На два полных блока, выходящих за пределы любой поверхности, потребуется 31 фигура. Между тем 100 миллионов деталей не дадут вам даже 10 полных блоков свеса, потому что сумма первых 100 миллионов членов гармонического ряда, делённая на 2, равна примерно 9,5. Так что придётся потрудиться, чтобы преодолеть Большой каньон. На больших масштабах в игру вступает физика, и разрушает всё веселье математиков. Но в идеализированных условиях, когда центр масс и гармонический ряд правят бал, возможности буквально безграничны.