На просторах англоязычного Интернета нашел еще одну вдохновляющую (лично меня по-крайней мере) статью. Машинный перевод, как всегда, оставляет желать лучшего, так что, как всегда, делюсь со всеми интересующимися своим авторским переводом. Оригинал здесь. Приятного чтения!

В конце XIX века Карл Вейерштрасс изобрел фрактальноподобную функцию, которая была осуждена математическим научным сообществом как "безобразное зло". Со временем она преобразила основы математики.

Если долго увеличивать масштаб этого графика, функция Вейерштрасса становится всё более рваной и зубчатой.

Математический анализ — мощный математический инструмент. Однако в течение сотен лет после его изобретения в XVII веке он стоял на довольно шатком фундаменте. Его ключевые концепции были, порой, основаны на интуиции и неформальных рассуждениях, а не на точных формальных определениях, как принято в математике.

Согласно историку математики и науки Майклу Барани, споры о математическом анализе породили два разных направления мысли в развитии математики в XVIII-XIX вв. Французские математики в основном были удовлетворены текущим положением вещей. Их больше интересовало применение математического анализа к задачам физики — например, использование его для вычисления траекторий планет или изучения поведения электрических токов. Но к XIX веку немецкие математики начали разрушать устоявшиеся представления. Они стремились найти контрпримеры, которые подорвали бы устоявшиеся стереотипы, и в конечном счёте, поставили бы математический анализ на более устойчивые основания.

Одним из таких математиков был Карл Вейерштрасс. Несмотря на склонности к математике, обнаруженные еще в раннем возрасте, Вейерштрасс под давлением отца был вынужден учиться на финансовом факультете с целью поступления на прусскую государственную службу. Скучая на этих занятиях, Вейерштрасс, как говорят, проводил большую часть времени за питьем и фехтованием; в конце 1830-х годов, так и не получив степень, он стал преподавателем средней школы, давая уроки по всему — от математики и физики до каллиграфии и гимнастики.

Вейерштрасс начал карьеру профессионального математика только ближе к 40 годам. Но он преобразил эту науку, представив миру свое математическое "чудовище".

Основы математического анализа

В 1872 году Вейерштрасс опубликовал функцию, которая поставила под сомнение всё, что математики думали о математическом анализе прежде. Однако публикация Вейерштрасса встретила лишь равнодушие, ярость и страх, особенно со стороны крупнейших представителей французской школы математической мысли. Анри Пуанкаре осудил функцию Вейерштрасса как "оскорбление здравого смысла". Шарль Эрмит назвал её "безобразным злом".

Чтобы понять, почему результат Вейерштрасса вызвал такие тревожные реакции, важно сначала разобраться в двух самых фундаментальных понятиях математического анализа: непрерывность и дифференцируемость.

Непрерывная функция — это именно то, чем она представляется по самому своему названию: функция без разрывов или скачков. Вы можете провести линию от любой точки такой функции к другой, не отрывая карандаш.

Математический анализ в значительной степени связан с определением того, насколько быстро изменяются такие непрерывные функции. Грубо говоря, он работает путем аппроксимации заданной функции прямыми, невертикальными линиями.

На любой данной точке этой кривой можно провести "касательную" линию — линию, которая лучше всего аппроксимирует кривую около этой точки. Уклон, или крутизна, касательной линии измеряет скорость изменения функции в этой точке. Можно определить другую функцию, называемую производной, которая даёт уклон касательной линии в каждой точке вашей исходной функции. Если производная существует во всех точках, то исходная функция считается дифференцируемой.

Функции, содержащие разрывы, никогда не являются дифференцируемыми: вы не сможете провести касательную линию, которая аппроксимирует разрывы, что означает, что ваша производная там не существует. Но даже непрерывные функции не всегда дифференцируемы во всех точках. Рассмотрим функцию "абсолютного значения", которая выглядит так:

Слева от этой V-образной кривой касательные линии имеют отрицательный уклон. Справа они имеют положительный уклон. На нижней вершине уклон резко меняет направление. Производная функции не существует в этой точке, хотя она хорошо определена в остальных местах.

Это не смущало большинство математиков XIX века. Они видели это как изолированное явление: пока ваша функция непрерывна, утверждали они, может быть только конечное число точек, где производная не определена. Во всех остальных точках функция должна оставаться гладкой и непрерывной. Другими словами, функция может "прыгать" лишь ограниченно.

На самом деле, в 1806 году известный французский математик и физик Андре-Мари Ампер заявил, что доказал это. Его рассуждения оставались непротиворечивыми десятилетиями. Затем появился Вейерштрасс.

Чудовище Вейерштрасса

Вейерштрасс открыл функцию, которая, согласно доказательству Ампера, должна была быть невозможной: она была непрерывной всюду, но дифференцируемой нигде.

Он создал её, складывая бесконечно много волноподобных "косинусных" функций. Чем больше членов он добавлял, тем больше его функция "прыгала" — пока в итоге она не начала менять направление резко в каждой точке, напоминая бесконечно зубчатую пилу.

Многие математики отвергли эту функцию. Это было аномалией, говорили они, а работу Вейерштрасса называли работой педанта, математически бесполезной. Они даже не могли её визуализировать. Сначала, когда вы пытаетесь построить график функции Вейерштрасса, он кажется гладким в некоторых областях. Только при увеличении вы заметите, что эти области рваные, и они продолжают становиться всё более зубчатыми и "плохо" ведущими себя ("патологическими") с каждым дополнительным увеличением.

Но Вейерштрасс безупречно доказал, что, хотя его функция не имеет разрывов, она никогда не является дифференцируемой. Чтобы показать это, он сначала пересмотрел определения "непрерывности" и "дифференцируемости", которые были сформулированы десятилетиями ранее математиками Огюстеном-Луи Коши и Бернардом Больцано. Эти определения полагались на расплывчатые, простые описания на естественном языке и непоследовательную нотацию, что делало их легкими для неверного толкования.

Поэтому Вейерштрасс переписал их, используя точный язык и конкретные математические формулы. (Каждый студент матфака учит определение предела через эпсилон-дельта; именно Вейерштрасс ввёл современную версию этого определения и использовал её как основу для своих определений непрерывности и дифференцируемости.)

Затем он смог показать, что его функция удовлетворяет его более строгому определению непрерывности. При этом он мог доказать, что в каждой точке новое формальное определение производной его функции никогда не имело конечного значения; оно всегда "выходило за пределы" до бесконечности. Иными словами, непрерывность не подразумевает дифференцируемость. Его функция была точно таким чудовищем, какого математики всегда боялись.

Доказательство показало, что математический анализ больше не может полагаться на геометрическую интуицию, как это делали его создатели. Оно установило новый стандарт для предмета, основанный на тщательном анализе уравнений. Математики были вынуждены следовать примеру Вейерштрасса, ещё больше уточняя свои определения функций, понимание связи между непрерывностью и дифференцируемостью, а также методы вычисления производных и интегралов. Эта работа по стандартизации математического анализа затем выросла в область математики, и известную сегодня как математический анализ (изначально он назывался «исчисление бесконечно малых»); Вейерштрасс считается одним из его основателей.

Но наследие его функции выходит далеко за рамки основ самого математического анализа. Она показала, что математика полна чудовищ: кажущихся невозможными функций, странных объектов (это один из первых примеров фрактала), «диких» поведений математических объектов. "Есть целая вселенная возможностей, и функция Вейерштрасса должна открыть вам глаза на это", — сказал Филипп Гресман из Пенсильванского университета.

Оказалось, что у неё есть много практических применений. В начале XX века физики хотели изучать броуновское движение — случайное движение частиц в жидкости или газе. Поскольку это движение непрерывно, но не гладко — характеризуется быстрыми и бесконечно малыми колебаниями — функции типа Вейерштрасса идеально подходили для моделирования этого явления. Аналогично, такие функции использовались для моделирования неопределённости в принятии решений и принятии рисков людьми, а также сложного поведения финансовых рынков.

Так же, как и сама личность Вейерштрасса, значение математических функции и объектов иногда раскрываются сильно позже их непосредственного открытия. Но подобные «чудовища» продолжают влиять на математику и её практическое применение и сегодня.

Мой научно-философский проект