«Вспоминаю, как в 7-м классе ничего не понимал, когда мы начинали разбирать тригонометрию. С учителем мы не смогли найти общий язык, поэтому к 8–9-му классу я был уверен, что никогда не буду заниматься математикой, а уж тем более сидеть по несколько часов в день, утыкаясь в учебники Беклемишева или Кожевникова и параллельно просматривая лекции Физтеха…»

Всем привет! Идею этой статьи я вынашивал довольно долго, пока не набрался опыта в том, что сейчас стало моей каждодневной практикой. Надеюсь, мой опыт поможет кому-то из вас комфортнее и эффективнее подойти к изучению математики (а может, и других наук). Предлагаю познакомиться:

Меня зовут Ренат, мне 23 года, я родился в Москве, окончил обычную школу и вплоть до 19 лет не понимал, чем хочу заниматься — что называется «что меня драйвит». Сейчас живу на Кипре, работаю тут аналитиком, но продолжаю параллельно учиться в России и скоро заканчиваю там университет.

За последние несколько лет я успел поработать аналитиком в Ozon, затем продуктовым аналитиком в Тинькофф (ныне Т-банк), перешёл в лондонский стартап, а сейчас тружусь над проектами в сфере Trust & Safety. И вот в один прекрасный день я решился «серьёзно ботать математику»: уже несколько месяцев уделяю 10–15 часов в неделю задачам, лекциям и подготовке к поступлению в магистратуру (решая вступительные от МГУ, ВШЭ, МФТИ). Именно об этом пути — как я ищу мотивацию, борюсь с прокрастинацией и стараюсь не выгореть — я и хочу вам рассказать.

1. Школьные темы: боль или база?

Если вы уже основательно забыли школьную математику и вспоминаете из того времени разве что морозные утренние подъёмы и долгие прогулки до школы, не пугайтесь. Полное повторение школьной программы не обязательно: гораздо важнее понимание «общих смыслов». Многие пробелы постепенно восполняются, когда начинаешь осваивать высшую математику.

Однако без базовых школьных тем подступиться к высшей математике сложнее. Я советую освежить в памяти, по крайней мере:

• Геометрию

• Тригонометрию

• Теорию чисел

• Функции

• Многочлены

Чтобы возвращение в «школьную» математику было эффективным, я пошёл по такому плану:

1. Купил задачник ЕГЭ (профильный уровень) и стал решать то, что получалось сходу. По сложным задачам смотрел видеоразборы на YouTube, но сразу подчеркну, что не вижу большого смысла погружаться в задачи 13–19: на их проработку может уходить 3–6 месяцев, чтобы научиться не просто решать по шаблону, а понимать смысл, — поэтому пока предлагаю стратегию 20/80.

2. Просматривал лекции по соответствующим разделам — часто на скорости 1.5x, без записей, чтобы уловить ключевую идею и общий ход рассуждений. А затем выбирал 10–20 задач и просто пытался их разбирать; если что-то было непонятно, то смело задавал вопросы ChatGPT и вместе с ним разбирал весь раздел.

3. Старался не застревать на одной теме — если, даже после общения с ChatGPT, что-то оставалось непонятно, я делал пометки и шёл дальше, чтобы потом вернуться к этому вопросу уже с новым опытом.

Если целенаправленно заниматься, то 1–2 месяца обычно достаточно, чтобы наверстать «школьный минимум» и почувствовать себя увереннее в будущих темах. Ничего страшного, если вы продолжите уточнять какие-то моменты уже во время освоения высшей математики — у меня это происходит до сих пор.

Комментарий: Школьные задачи и темы нередко «всплывают» при изучении более сложных разделов, так что не переживайте, если не отработали их до совершенства. Лучше сконцентрируйтесь на понимании, а не зубрёжке.

2. Погружение в высшую математику: матан, линал и ангем

Математический анализ

Математический анализ («матан») — фундаментальный раздел, который у многих вызывает страх и непонимание, поэтому вначале я тоже не видел в нём особого смысла и относился к нему формально. Однако со временем понял, насколько важно именно понимать, о чём говорит матан, а не просто уметь решать задачи «на оценку».

Комментарии:

• Найдите свою мотивацию. Попробуйте найти задачи или темы, которые помогает решать именно математический анализ — мне это помогает во время моей работы: я вижу, какие концепции вышли из матана, и пытаюсь в них разобраться.

• Не перегружайте мозг. Просмотр 2–3 лекций в день только собьёт настрой и качество усвоения. Лучше начинать с одной лекции в день или 2–3 в неделю, а потом, при необходимости, увеличивать темп, совмещая с решением задач и просмотром семинаров.

• Не бойтесь переключаться между разными темами, если чувствуете, что «застряли» (но при условии, что позже вернётесь к пропущенному).

• Ищите единомышленников. Очень полезно решать задачи вместе, обсуждать доказательства и разборы. Соперничество или просто дружеская атмосфера здорово мотивируют. О том, где можно найти таких людей я расскажу ниже
  

По срокам: если уделять несколько часов в неделю, то на базовый математический анализ (без глубокого захода в многомерный анализ и дифференциальные уравнения) может уйти 2–3 месяца. Если добавить более сложные темы, то все 6–8 месяцев, но зато вы поймёте, как применять математику практически во всех смежных областях. Не пугайтесь цифр — если учиться с интересом, время пролетит незаметно, а вы научитесь, например, раскладывать предел в ряд Тейлора всего за секунд.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Линейная алгебра («линал») и аналитическая геометрия («ангем») часто идут в связке. Кто-то начинает с линала, кто-то с геометрии, и это окей — методы и идеи этих дисциплин тесно переплетены. Я до сих пор до конца не понимаю, что важнее, или можно ли говорить «линал», имея в виду и то, и другое.
Вначале мне тоже казалось, что матрицы, векторы и координаты — «просто набор цифр и линий». Оценку я получал за счёт зубрёжки, особо не вникая, зачем всё это нужно. Но когда попались живые объяснения с анимацией и образами (особенно на YouTube-каналах, где показывают наглядную геометрию в высоких размерностях), я вдруг осознал красоту и универсальность этих инструментов.

Комментарии:

• Помните, что какой-то блок всегда может оказаться сложным или непонятным. Не думайте, что проблема в вас — ищите другой источник, лектора или учебник, который объясняет тему доступнее.

• Пробуйте решать одну и ту же задачу разными способами: чисто алгебраически и геометрически. Это отлично прокачивает абстрактное мышление.

• Программа линейной алгебры обычно компактнее и более логична, чем матан, поэтому многие получают быстрый прогресс (1–3 месяца на базовые темы).

• Доказательства важнее. Не пытайтесь проходиться по верхам — это хорошая стратегия, если вы хотите понять лишь внешнюю сторону предмета, но только теоремы и их доказательства помогут глубже осознать возможности ангема и линала. Вы можете не уметь доказывать их самостоятельно, но, поверьте, достаточно один раз увидеть, как это делает лектор.

3. «Хармфульский клуб любителей математики» и роль окружения

Одна из важнейших вещей в процессе обучения — единомышленники. Когда я начал погружаться в математику, то понял, что мне тяжело разбирать темы в одиночестве, когда нет возможности задать вопрос или обсудить голосом, поэтому я нашёл таких ребят в клубе любителей математики, который организовали выпускники МФТИ. Там можно вместе:

• Готовиться к поступлению в онлайн магистратуру МФТИ (программы «Цифровая экономика», «Современная комбинаторика» и др.).

• Участвовать в спринтах, воркшопах и совместном разборе задач (например, из учебников Шилова или из серии задач 57-й школы).

• Пробовать себя в роли наставника (как я: провёл открытый урок по тригонометрии), что даёт шикарный опыт в ещё одном аспекте математики — умении объяснять.

• И многое другое

Клуб развивается, запускает новые проекты и эксперименты (будущий поток будет с «Бадди» — более опытным участником клуба, которому можно задавать любые вопросы), так что, если вам интересно, обязательно поищите подобные сообщества: есть бесплатные онлайн-группы, чаты, форумы. Ничего не заменит эмоционального обмена с людьми, у которых похожие цели.

Я, как участник клуба, хочу поделиться несколькими историями и деталями, чтобы процесс вашего погружения прошёл комфортнее.

Когда я впервые подключился ко всем чатам, на меня обрушился настоящий информационный шок: повсюду математика, множество полезного контента на русском и английском, много опытных ребят, готовых ответить на любые вопросы, активные спринты по темам. Но из-за такого объёма информации мне было сложно сконцентрироваться — не было конкретного плана. Пришлось потратить некоторое время, чтобы наладить режим и начать ходить на общие созвоны, посещать воркшопы, разборы задач, а в итоге я запустил и свою серию встреч по субботам для решения вступительных экзаменов (примеры вариантов) для всех заинтересованных.

Моя рекомендация номер один: создайте для себя календарь с темами, которые хотите пройти. Так проще контролировать темп и не забрасывать обучение. (Ниже вы увидите скриншот моего календаря — можете смело брать его за образец.)

Вторая рекомендация: не бойтесь того, что кто-то знает математику лучше вас. Поверьте, человек не сразу разобрался в ней глубже, он просто потратил время, чтобы прийти на встречу и рассказать вам, например, про функцию гаверсинуса и её применение. Уверен, что вы тоже сможете, просто дайте себе время и старайтесь не слишком часто себя оценивать.

Ниже — несколько комментариев:

В клубе замечательная атмосфера: действует строгое правило бана за любую агрессию, все дружелюбны и любят пошутить на общих созвонах. Для новичков есть бесплатный пробный период, поэтому я очень рекомендую попробовать хотя бы недельку походить на встречи, чтобы понять, насколько вам комфортно в такой среде.

Что касается меня, то именно благодаря клубу я продолжаю заниматься дальше — я регулярно посещаю разные мероприятия, задаю много (иногда очень много) вопросов и стараюсь воспользоваться силой коллектива. Поэтому, если вам откликается такая атмосфера, советую найти кого-нибудь: так будет намного проще!

P.S. Однажды я вдохновился именно статьей Лидии, в которой она очень круто рассказала о своём опыте подготовки к онлайн-магистратуре и взаимодействии с клубом. Очень рекомендую к прочтению!

4. Проблемы на пути: прокрастинация, страх и выгорание

Нельзя забывать о психологических барьерах, которые подстерегают любого, кто всерьёз занялся самообразованием, особенно построением космических кораблей математикой:

• Прокрастинация. Самое частое препятствие. Помогают разбивка тем на микрозадачи и регулярные короткие отчёты друзьям или коллегам. Я использую свою младшую сестру, которая скоро сдаёт ОГЭ: это замечательная возможность решать вместе с ней пробные варианты, пересказывать темы или просто делиться впечатлениями («Смотри, какая страшная формула, сейчас расскажу, зачем она…»).

• Страх. «Вдруг я не справлюсь?» или «Я не математик, я гуманитарий» — вполне стандартные мысли. Постарайтесь заменить их установкой «Всему можно научиться, если идти по маленьким шагам». Тут очень рекомендую книгу «Думай как математик» Барбары Оакли: один пример из неё помог мне понять, что «быть математиком» определяется не рождением, а упорством (автор приводит в пример ловлю мяча — этого достаточно, чтобы погружаться в сложные математические задачи).

• Выгорание. Возникает, когда мы пытаемся охватить все темы сразу, не давая мозгу отдохнуть. Ищите баланс и не пытайтесь выучить всё в одночасье — всё равно не получится. Самое важное помнить, что прогресс иногда приходит неожиданно: вы можете полгода думать, что ничего не понимаете, а на 183-й день вдруг решить сложную задачу с лёту, а за ней и вторую, и третью… Главное заниматься регулярно: , где - кол-во дней, а значение предела - масштаб знаний в условной единице.

• Неудача. Это, как говорится, база: тупиковые задачи, провальные ответы и ложные ожидания — это окей. Главное — не забрасывать занятия и не впадать в отчаяние. Прямо сейчас я не умею решать до 70% сложных задач, и мне грустно от этой мысли, но год назад я не мог решить ни одной и даже не пытался, так что прогресс есть всегда.

5. Что дальше?

Когда-то наступит момент, когда вы почувствуете, что закрыли часть математических разделов или достигли нужной глубины. Тогда могут возникнуть новые вопросы: идти ли дальше? Изучать ли другие ветви (теорию вероятностей, теорию графов, топологический анализ данных)? Поступить ли в ВУЗ, чтобы учиться дальше? Или, может, заняться исследованиями в Data Science?

Я точно не эксперт, но думаю, что к математике стоит относиться как к открытому путешествию без жёстких рамок. Если чувствуете, что надо отдохнуть, — берите перерыв. Если тянет осваивать новые разделы — дерзайте! Главное, не забывайте радоваться процессу, а не только результату. И вообще, математика делает людей круче, конечно!

6. Дополнительные ссылки и материалы

Тут я решил собрать то, что использую сам. Я посмотрел еще не все лекции и прочитал не все книги, но делюсь тем, что помогает мне уже некоторое время изучать математику:

На русском:

• Барбара Оакли. Она написала книгу «Думай как математик», в которой на простом языке пытается передать смысл того, что математикой может заниматься каждый, важно правильно подготовиться, а еще там есть советы по улучшению эффективности обучения.

• Учебник по школьной программе: очень рекомендую заказать печатную версию и начать именно с этого учебника, он поможет быстро погрузиться в легкие задачи, и вспомнить самые основные понятия.

• Борис Трушин: мне нравится смотреть его стримы с описанием, а также видео на 15-20 минут, где он быстро выводит формулы, чтобы не зубрить.

• Учебники по мат. анализу: Зорич, Кудрявцев, Демидович (задачник) - классика.

• Лекции от Шапошникова по матану за 4 семестра: мой любимый лектор по математическому анализу, надеюсь, когда-нибудь я посмотрю все 180 часов лекций мехмата.

• Смысл математического анализа: думаю, что многие встречались с этим переводом, красивая анимация и легкая интерпретация.

• Красивая анимация по линейной алгебре: это тот самый плейлист, после которого я еще больше захотел погружаться в аналитическую геометрию.

• Учебник по линейной алгебре от Беклемишева: один из самых популярных авторов на тему линейной алгебры и аналит. геометрии на русском языке.

• Лекции / семинары по линейной алгебре от МФТИ: я смотрел семинары от Луниной, но эти показались мне не хуже и они в открытом доступе.

Другие разделы:

• Учебник по теории вероятностей: это рекомендация от моего преподавателя по теорверу, Гнеденко Борис Владимирович - великий математик.

• Математическая статистика в контексте аналитики: замечательный курс от ВШЭ с Филиппом Валерьевичем.

• Топологический анализ данных: посмотрел несколько частей, мне нравится подача материала, можно слушать во время прогулки.

• Психология: это часть лекций от Рауфа Мухарамова на физтехе, которую я рекомендую всем, кто хочет подготовить себя к серьезному погружению, он понятным языком рассказывает про то, с чем может столкнуться каждый, кто изучает математику.

На английском:

• Brilliant. Образовательная платформа с интерактивными курсами. Удобный формат для повторения основ.

• Лекции по линейной алгебре MIT от Гилберта Странга: бесплатные лекции от одного из лучших лекторов по линейной алгебре в MIT (Eng).

• Учебник по математическому анализу и школьной программе от Савова: прочитал уже большую часть и могу сказать, что книга стоит того, особенно для тех, кто хочет напомнить себе основы 10-11 классов.

Вместо заключения

Надеюсь, мой опыт вдохновит вас попробовать вернуться к математике (может к другому сложному предмету) или начать её изучать с более осмысленным подходом и открытым взглядом. Неважно, сколько вам лет и где вы живёте — главное, что математика может стать потрясающим спутником на всю жизнь, если найти к ней правильный подход.

Прямо сейчас я продолжаю свой путь и, честно говоря, ещё только в самом начале. Я пока не могу решить многие сложные задачи и не понимаю некоторые концепции и теоремы, но точно могу сказать одно: математика открыта для всех. Пусть у каждого это происходит в разном масштабе и с разной скоростью, но она доступна каждому, кто хотя бы пытался её понять.

Всем желаю наслаждаться математикой и спасибо, что дочитали до конца. Если есть вопросы, идеи и истории, буду рад послушать и обсудить их в комментариях.