news.shamcode.ru | Анализируем простейший усилитель

В настоящей статье я хочу рассмотреть и проанализировать широко известную и подкупающую своей простотой минимальную схему усилителя на одном биполярном транзисторе:

Прекрасно осознавая, что в Интернете на данную тему имеется огромное количество статей, тем не менее рискну написать еще одну. Несмотря на кажущуюся простоту, данный усилитель так или иначе затрагивает большое количество различных вопросов и здесь есть что обсудить. Соответственно, разные авторы рассматривают данный усилитель несколько под разными углами. Надеюсь, и моя статья кому-то окажется интересной и полезной.

Статья поделена на две части. В первой части я дам качественное описание происходящих процессов, во второй части мы попробуем рассчитать различные параметры усилителя и входящих в него элементов.

Предполагается, что читатель имеет некоторые базовые представления об электрических цепях и работе биполярного транзистора. Транзистор я буду рассматривать в несколько идеализированным виде, пренебрегая многими несущественными для данного усилителя деталями. Так, я буду считать, что транзистор является идеальным источником тока (т.е. без эффекта Эрли), что в режиме насыщения у него напряжение между коллектором и эмиттером равно нулю, что нет паразитных емкостей между выводами и т.д. Конечно, для реального транзистора это не совсем так, но для нашего усилителя такого упрощения будет вполне достаточно.

Часть 1. Качественное описание работы усилителя

Анализ работы усилителя начнем с точки зрения динамика. Для динамика транзистор выглядит как элемент, сопротивление которого между коллектором и эмиттером может меняться от нуля до бесконечности:

Сопротивление транзистора неким таинственным образом меняется в такт со входным сигналом $U_{ВХ}$ , из-за чего через динамик протекает меняющийся во времени ток $inline$ , который заставляет диффузор динамика колебаться и излучать звуковые волны.

Когда сопротивление транзистора бесконечно, ток через динамик не протекает $inline$ и напряжение на динамике равно нулю $inline$ . В этом состоянии, как говорят, транзистор закрыт или находится в режиме отсечки, т.е. не проводит электрический ток между коллектором и эмиттером.

Когда сопротивление транзистора между коллектором и эмиттером падает до нуля, напряжение на динамике максимально и равно напряжению питания $U_Д=U_{ПИТ}$ . В этом случае транзистор находится в режиме насыщения. Протекающий при этом ток $inline$ максимален и определяется сопротивлением динамика $inline$ : $I_{Kmax}=U_{ПИТ}/R_Д$ .

Когда сопротивление транзистора принимает какое-то ненулевое, но конечное значение, напряжение на динамике и ток через динамик также принимают промежуточные значения $0 < U_Д < U_{ПИТ}$ , $0 < I_K < I_{Kmax}$ . В этом случае говорят, что транзистор работает в активном режиме. Именно этот активный режим работы транзистора будет представлять для нас основной интерес.

Как мы выяснили, напряжение на динамике может меняться в пределах от 0 до $U_{ПИТ}$ . Напряжение же входного сигнала $U_{ВХ}$ обычно колеблется около нуля примерно симметрично в обе стороны, т.е. принимает как положительные, так и отрицательные значения примерно равные по величине. По этой причине наш усилитель не может создать на динамике просто усиленную копию входного сигнала, поскольку нет никакой возможности создать на динамике отрицательное напряжение. Для того, чтобы сохранить форму входного сигнала, напряжение на динамике необходимо сдвинуть, чтобы колебания на динамике были в пределах от 0 до $U_{ПИТ}$ . Поскольку звуковые волны возбуждаются именно из-за изменения напряжения на динамике, то сдвиг этого напряжения на постоянную величину сам по себе на излучение звуковых колебаний не влияет. Очевидно, что сдвинуть напряжение на динамике лучше примерно на $U_{ПИТ}/2$ , чтобы было достаточно место для колебаний в обе стороны от этого значения, как показано на рисунке:

При этом максимальный размах колебаний напряжения на динамике, а значит и выходная мощность (громкость) усилителя, ограничивается напряжением питания. Чем больше напряжение питания, тем больший размах напряжения может создаваться на динамике, тем громче может звучать усилитель (естественно, при условии, что динамик и транзистор достаточно мощные, чтобы не перегреться от протекающего через них тока). Если напряжение питания небольшое, то каким бы большим ни был коэффициент усиления усилителя, громко он звучать не сможет. При слишком большом усилении или слишком сильном входном сигнале выходной сигнал не будет помещаться в отведенный ему интервал напряжений и будет обрезаться по краям. Вместо более громкого звука мы просто услышим хрипы, скрежет и тому подобные искажения.

Из-за сдвига напряжения на динамике через динамик все время протекает ток, в среднем равный $U_{ПИТ}/2R_Д$ . Вообще, для динамика это плохо. Диффузор динамика все время оказывается выгнутым в одну сторону, что вызывает искажения звука и может привести к деформации диффузора. Постоянное протекание тока вызывает нагрев динамика и может вывести его из строя. В правильном усилителе при отсутствии входного сигнала напряжение на динамике должно быть равно нулю, а не половине напряжения питания.

Через транзистор также все время протекает ток, в среднем равный $U_{ПИТ}/2R_Д$ . В принципе, для транзистора это нормальная ситуация при условии, что транзистор выдерживает максимальный протекающий через него ток и рассеивает необходимую мощность.

При этом даже при отсутствии входного сигнала через динамик и транзистор проходит ток и выделяется тепло. Из-за этого усилитель может достаточно сильно греться и расходовать энергию источника питания (особенно это неприятно, если для питания такого усилителя используются батарейки или аккумуляторы). Это недостаток сказывается тем сильнее, чем больше мощность усилителя.

Транзистор как управляемый источник тока
Хотя с точки зрения динамика, транзистор можно представить как меняющий свое сопротивление резистор, на самом деле транзистор совсем не похож на резистор, в том смысле, что он не подчиняется закону Ома. Согласно закону Ома ток через резистор равен напряжению на резисторе, деленному на его сопротивление. Если на резисторе менять напряжение, то и ток через него будет пропорционально меняться.

В отличие от этого ток $inline$ через транзистор практически не зависит от напряжения между коллектором и эмиттером. Транзистор просто пропускает через себя ток заданной величины, т.е. является источником тока. С точки зрения динамика это ничего не меняет, но для дальнейших расчетов это очень важно. Понятно, что транзистор может регулировать ток только в пределах от нуля, когда он полностью закрыт до $I_{Kmax}=U_{ПИТ}/R_Д$ , когда он полностью открыт. Дальнейшее повышение тока ограничивается сопротивлением динамика.

До сих пор мы рассматривали только два вывода транзистора – коллектор и эмиттер. Третий его вывод, база, является управляющим, и с помощью него можно управлять силой тока, протекающего через транзистор.

В зависимости от ситуации, иногда удобно считать, что ток $inline$ , протекающий через коллектор транзистора управляется током, протекающим через его базу $inline$ (т.е. транзистор является Источником Тока Управляемым Током, ИТУТ), а иногда, что напряжением на базе $inline$ (т.е. Источником Тока Управляемым Напряжением, ИТУН). Поскольку между током базы и напряжением на базе имеется взаимно-однозначное соответствие, то эти две точки зрения эквивалентны и можно пользоваться любой из них в зависимости от конкретной ситуации. Нам пригодятся обе эти точки зрения. Ток базы $inline$ и ток коллектора $inline$ , объединяются в транзисторе и вытекают из его эмиттера в виде эмиттерного тока $inline$ :

Ниже приведены графики зависимости между током базы, током коллектора и напряжением на базе для типичного транзистора.

На графике (A) видно, что ток коллектора пропорционален току базы. Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом усиления транзистора по току и обозначается обычно как $\beta$ или как $h_{21Э}$ . Данный коэффициент показывает, во сколько раз ток коллектора больше тока базы и будет очень важен для дальнейших наших вычислений. Значение $\beta$ может принимать значения от нескольких десятков до нескольких сотен для разных транзисторов, а также может меняться в зависимости от температуры транзистора. График приведен для значения $\beta = 100$ .

На графиках (Б) и (В) изображена зависимость тока коллектора и тока базы от напряжения на базе. Видно, что данная зависимость сильно нелинейна. Из теории полупроводников следует, что оба тока экспоненциально зависят от напряжения $inline$ (зависимость тока коллектора от напряжения на базе описывается т.н. уравнением Эберса-Молла). При этом, чтобы через транзистор протекал сколь-нибудь заметный ток $inline$ , напряжение на базе для кремниевых транзисторов должно быть порядка 0.6 – 0.8 В. Примем его для простоты равным 0.7 В. Если напряжение $inline$ окажется сильно меньше 0.7 В, то транзистор закроется, и $inline$ окажется равным практически нулю. При напряжении на базе значительно больше 0.7 В через транзистор резко возрастет ток базы и он сгорит.

Если смотреть на транзистор как источник тока управляемый током базы, то ток базы, протекая через транзистор, вызывает протекание тока коллектора в $\beta$ раз большего, а также вызывает падение напряжения между базой и эмиттером $inline$ равное около 0.7 В. Если считать транзистор как источник тока управляемый напряжением на базе $inline$ , то напряжение $inline$ вызывает протекание тока коллектора (экспоненциально зависящего от $inline$ ), а также тока базы в $\beta$ раз меньшего коллекторного тока.

Как мы выяснили, одна из задач – это установка напряжения на динамике равном примерно половине напряжения питания в отсутствие входного сигнала. Для решения этой задачи проще воспользоваться точкой зрения, что коллекторный ток $inline$ , проходящий через динамик и задающий на нем напряжение, управляется током базы $inline$ . Ток базы легко задать при помощи резистора $inline$ . Выбирая подходящий резистор мы устанавливаем нужный ток базы, а он в свою очередь определяет ток коллектора. При этом напряжение на базе транзистора установится автоматически около 0.7 В.

Разделительный конденсатор
Нам осталось подключить к нашей схеме источник сигнала. Как мы помним, входной сигнал $U_{ВХ}$ колеблется около нуля. Напряжение же на базе транзистора должно быть порядка 0.7 В. Таким образом, при передаче входного сигнала на базу транзистора нам нужно сместить входной сигнал на 0.7 В.

Делается это стандартным способом, при помощи разделительного конденсатора C. В нашем усилителе конденсатор автоматически заряжается так, что в отсутствие входного сигнала на левой по схеме обкладке напряжение оказывается равно нулю, а на правой – напряжение базы. При наличии быстро меняющегося входного сигнала, колеблющегося около нуля, конденсатор не будет успевать перезаряжаться, будет сохранять свое значение напряжения и его можно считать просто батарейкой с напряжением 0.7 В. При этом напряжение на правой обкладке конденсатора будет повторять напряжение на его левой обкладке с добавлением 0.7 В. Если же колебания входного сигнала будут достаточно медленны, то конденсатор будет успевать до определенной степени перезаряжаться и такие колебания придут на базу в несколько ослабленном и измененном виде.

Говоря иными словами, конденсатор хорошо пропускает через себя быстрые колебания и плохо медленные. Предельный случай медленных колебаний — постоянное напряжение — конденсатор не пропускает совсем: на разных обкладках конденсатора присутствует разное постоянное напряжение. Конденсатор в нашем усилителе должен быть таким, чтобы достаточно хорошо пропускать колебания входного сигнала во всем диапазоне частот, слышимых человеческим ухом.

В результате на базе транзистора будет постоянное напряжение около 0.7 В, из-за протекающего через резистор $inline$ постоянного тока базы плюс переменное напряжение от входного сигнала, проходящего через конденсатор. Колебания напряжения на базе будут вызывать колебания коллекторного тока $inline$ и, соответственно, колебания напряжения на динамике $inline$ . На рисунке показаны уровни входного напряжения, напряжения на базе транзистора и выходное напряжение на динамике:

Искажения
Наш усилитель не идеально усиливает сигнал. В процессе прохождения через усилитель форма сигнала меняется, и выходной сигнал будет не совсем таким как входной сигнал — возникают искажения. Искажения можно разделить на два типа — линейные и нелинейные.

Одна из особенностей линейных искажений заключается в том, что при линейных искажениях входной синусоидальный сигнал также остается синусоидальным той же частоты, хотя, возможно, с измененной амплитудой и фазой. Другими словами, линейные искажения сохраняют набор изначально имеющихся гармоник (т.е. синусоидальных составляющих сигнала). Гармоники могут становиться сильнее или слабее, но набор их не меняется. Обычно такие линейные искажения воспринимаются на слух как ослабление или, наоборот, усиление басов или высоких частот. Для характеристики линейных искажений используется Амплитудно-Частотная Характеристика (АЧХ) усилителя, показывающая как зависит усиление синусоидального сигнала от его частоты.

При нелинейных искажениях усилитель искажает форму синусоидального входного сигнала, т.е. в выходном сигнале появляются гармоники, ранее отсутствовавшие во входном сигнале. Человеческое ухо довольно чувствительно к таким новым гармоникам и обычно нелинейные искажения ощущаются резче и более неприятно. В случае сильных нелинейных искажений они могут ощущаться на слух как хрип, скрежет и тому подобные помехи. Для характеристики нелинейных искажений используется Коэффициент Нелинейных Искажений (КНИ), показывающий насколько сильно изменяется форма синусоидального сигнала, или, другими словами, насколько много возникает новых гармоник после усиления изначально чистого синусоидального сигнала.

Линейные искажения
В нашем случае линейные искажения в основном вносятся разделительным конденсатором, который ослабляет низкие частоты, но при этом не искажает синусоидальную форму входного сигнала. Ниже показан график зависимости усиления К от частоты f входного сигнала (АЧХ):

Видно, что на низких частотах коэффициент усиления падает и на нижней граничной частоте $inline$ уменьшается в $\sqrt2$ раз, $K_{ГР} = \frac {K_{МАКС}}{\sqrt2} \approx 0.7K_{МАКС}$ . Желательно, чтобы нижняя граничная частота $inline$ была много меньше минимальной частоты, слышимой человеческим ухом (около 20 Гц), тогда спад усиления на нижних частотах будет не слышен. Нижняя граничная частота зависит от емкости конденсатора. Чем больше емкость конденсатора, тем меньше нижняя граничная частота, поэтому емкость конденсатора должна быть достаточно большой, чтобы выполнялось условие $f_Н \ll$ 20Гц.

На больших частотах коэффициент усиления также начинает падать, в основном из-за паразитных емкостей внутри транзистора. Однако эти частоты лежат далеко за пределами слышимого диапазона и для нас интереса не представляют.

Нелинейные искажения
Нелинейные искажения возникают на транзисторе. Поскольку зависимость коллекторного тока от напряжения на базе экспоненциальная, т.е. сильно нелинейная, то и зависимость напряжения на динамике также будет нелинейно зависеть от напряжения сигнала, и входной синусоидальный сигнал будет менять свою форму после усиления.

Уровень нелинейных искажений зависит от амплитуды выходного сигнала. Чем больше амплитуда выходного сигнала, тем сильнее будет искажаться сигнал. Ниже показаны колебания напряжения на динамике для входных синусоидальных (сверху) и треугольных (снизу) сигналов разной амплитуды при напряжении питания усилителя равном 10 В.

Видно как возрастают искажения при увеличении сигнала. В случае треугольных сигналов хорошо видны куски экспоненты, наглядно показывающие экспоненциальную зависимость тока коллектора от напряжения на базе.

Часть 2. Расчет параметров

В данном разделе мы рассчитаем некоторые параметры усилителя, а также номиналы используемых деталей.

Прежде чем перейти к расчетам, воспользуемся широко распространенным приемом: мы все напряжения и токи в нашем усилителе разделим на постоянные и переменные составляющие. Постоянные составляющие будут равны напряжениям и токам в отсутствие входного сигнала. Переменные составляющие будут равны отклонениям напряжений и токов от их постоянных составляющих. Таким образом, любое напряжение или ток мы будем рассматривать как сумму постоянной и переменной составляющей этого напряжения или тока, например: $I_K = I_{K0} + \Delta I_K$ (в обозначениях постоянных составляющих я буду приписывать нижний индекс 0, а в обозначениях переменных составляющих — знак $\Delta$ ).

В случае усилителя, в конечном счете, именно переменная составляющая токов и напряжений вызывает колебания динамика и создает звук. В этом смысле постоянная часть токов и напряжений в цепи служит в некотором роде вспомогательную, хотя и абсолютно необходимую роль. Анализ переменных и постоянных составляющих отличается друг от друга, поэтому мы будем рассматривать их по отдельности.

Анализ постоянных составляющих.
При рассмотрении постоянных составляющих токов и напряжений, наша основная задача заключается в том, чтобы в отсутствие входного сигнала создать на динамике напряжение равное половине напряжения питания, или, как говорят, задать рабочую точку усилителя. Конденсатор C не пропускает через себя постоянные составляющие тока и напряжения, поэтому для постоянных составляющих схема будет выглядеть следующим образом:

Для анализа постоянных составляющих нам удобно воспользоваться моделью транзистора как источник тока управляемым током. Как мы видели, ток коллектора пропорционален току базы $I_{К0} = \beta I_{Б0}$ . Чтобы на динамике падало напряжение равное половине напряжения питания, через динамик должен проходить ток коллектора равный $I_{К0} = \frac {U_{ПИТ}}{2R_Д}$ . Проще всего нужный коллекторный ток задать при помощи тока базы. Поскольку ток коллектора в $\beta$ раз больше тока базы, то ток базы должен быть в $\beta$ раз меньше тока коллектора:

$I_{Б0} = \frac {U_{ПИТ}}{2 \beta R_Д}$

Ток базы задается резистором $inline$ . Как мы видели, напряжение на базе транзистора равно около 0.7 В. На резисторе $inline$ падает напряжение равное $U_{ПИТ}$ — 0.7 В и протекает ток равный:

$I_{Б0} = \frac {U_{ПИТ} - 0.7 В}{R_Б}$

Приравнивая два вышеприведенных выражения для тока базы, получаем выражение для сопротивления резистора $inline$ :

$R_Б = 2 \beta R_Д \frac {U_{ПИТ}-0.7 В}{U_{ПИТ}} \approx 2 \beta R_Д$

Эту формулу легко понять. Ток базы через резистор $inline$ в $\beta$ раз меньше коллекторного тока, проходящего через динамик (по определению $\beta$ ). Учитывая, что напряжение на резисторе $inline$ почти в два раза больше напряжения на динамике, получаем, что сопротивление резистора $inline$ должно быть в $2 \beta$ раз больше сопротивления динамика.

Сопротивление резистора $inline$ зависит от $\beta$ . В результате, резистор нужно подбирать для конкретного транзистора. Хуже того, значение $\beta$ может меняться при изменении температуры транзистора и напряжение на динамике будет уходить от желаемого значения. На практике в данной схеме в качестве резистора $inline$ часто ставят переменный резистор, которым и подстраивают нужное значение тока базы.

Малосигнальная модель транзистора.
Теперь мы приступим к анализу переменных составляющих токов и напряжений, т.е. их отклонений от постоянных составляющих. Здесь мы воспользуемся еще одним распространенным приемом. Из-за сильно нелинейной зависимости между токами и напряжениями на транзисторе непосредственный анализ переменных составляющих крайне сложен и, по большому счету, может быть выполнен только численными методами. Однако, как мы видели, при уменьшении амплитуды переменных составляющих нелинейные искажения на транзисторе уменьшаются. Поэтому, имеет смысл, в качестве приближения, выполнить такой анализ для малых сигналов, когда нелинейные искажения малы и транзистор можно заменить моделью, в которой имеются только линейные элементы. Остальные элементы схемы — динамик, резистор и конденсатор также с хорошей точностью являются линейными элементами. Получится схема, содержащая только линейные элементы. Такую схему гораздо проще анализировать и она является хорошим приближением к реальной схеме.

Для анализа малых сигналов в нашем случае подойдет следующая простая малосигнальная модель транзистора:

В ней транзистор заменен на источник тока и резистор $inline$ , подключенные как указано на рисунке. Источник тока выдает ток коллектора в $\beta$ раз больший тока базы и отражает свойство транзистора усиливать ток. Резистор $inline$ , называемый собственным сопротивлением эмиттера, нужен для того, чтобы учесть изменения напряжения на базе при изменении токов базы и коллектора. Сопротивление резистора $inline$ выражается следующей формулой (доказательство этой формулы я опущу, оно описано во многих книгах по электронике и выводится из уравнения Эберса-Молла для транзистора):

$r_Э = \frac{U_T}{I_K} \approx \frac{U_T}{I_{K0}}$

где

$U_T = kT/q \approx 25 мВ$

Здесь k — постоянная Больцмана, q — заряд электрона. Напряжение $inline$ (температурный потенциал) является средней энергией теплового движения электронов, выраженной в электронвольтах, и зависит от температуры транзистора. При комнатной температуре (T = 300К) $U_T \approx$ 25мВ.

Сопротивление $inline$ зависит от протекающего через транзистор тока. При малых колебаниях сигнала основная составляющая тока равна постоянной составляющей $I_{K0}$ . При протекании коллекторного тока равного 1 мА сопротивление $inline$ имеет значение порядка 25 Ом и при увеличении коллекторного тока пропорционально уменьшается.

Ниже показана малосигнальная модель нашего усилителя:

В ней транзистор заменен на свою малосигнальную модель. Конденсатор мы пока считаем достаточной емкости, чтобы он свободно пропускал все интересующие нас частоты, и мы его на схеме не указываем (считаем, что вместо конденсатора просто проводник). Также положительная шина питания оказывается для переменных составляющих замкнута на минусовую шину, поскольку напряжение на положительной шине постоянно, т.е. переменная составляющая напряжения на положительной шине питания равна нулю.

Коэффициент усиления по напряжению.
Коэффициент усиления по напряжению показывает во сколько раз напряжение на динамике превосходит входное напряжение. Для его вычисления воспользуемся следующими рассуждениями: если пренебречь малым током базы, то через резистор $inline$ и через динамик протекает один и тот же коллекторный ток $\Delta I_K$ . Данный ток вызывает соответствующие падения напряжения на этих резисторах, причем падение напряжения на резисторе $inline$ как раз равно входному напряжению $\Delta U_{ВХ}$ . Коэффициент усиления по напряжению равен отношению падений напряжений на динамике и на резисторе $inline$ при протекании одного и того же тока $\Delta I_K$ . Очевидно, что это отношение напряжений равно отношению сопротивлений динамика $inline$ и резистора $inline$ .

$display$

где K — коэффициент усиления по напряжению.

Сопротивление $inline$ зависит от тока коллектора $I_{K0}$ , который в свою очередь зависит от сопротивления динамика. Подставляя в формулу для коэффициента усиления выражение для сопротивления $inline$ получаем:

$K = \frac {R_Д}{r_Э} = R_Д \frac{I_{K0}}{U_T} = \frac {U_{ПИТ}}{2U_T} = 20 U_{ПИТ}$

где напряжение питания выражено в Вольтах. Как видно из формулы, коэффициент усиления по напряжению не зависит ни от транзистора, ни от динамика, а только от напряжения питания усилителя. При напряжении питания равном 10 В коэффициент усиления равен 200. Это достаточно большой коэффициент усиления. Размах выходного напряжения смартфонов на максимальной громкости равен порядка 0.5 В. Чтобы не было больших искажений и обрезания выходного сигнала (клиппинга) приходится подключать смартфон к усилителю на малой громкости.

Входное сопротивление
Ни усилитель, ни источник входного сигнала не являются идеальными устройствами. При передаче сигнала от источнику к усилителю часть напряжения сигнала теряется, и в результате коэффициент усиления несколько уменьшается. Чтобы понять какие параметры на это влияют, рассмотрим следующую схему.

В левом квадрате представлен источник аудиосигнала, например, смартфон. Допустим, что если измерить сигнал, выдаваемый смартфоном без подключенного к нему усилителя или наушников, то сигнал будет равен $U_{ИСТ}$ . При подключении к нему другого устройства, потребляющего ток, напряжение на выходе источника сигнала будет несколько уменьшаться. Чем больше тока будет потреблять подключенное к источнику сигнала устройство (т.е. чем меньше его сопротивление), тем сильнее будет «проседать» напряжение источника сигнала. Для описания данного факта вводят понятие выходного сопротивления источника и входного сопротивления потребителя сигнала (нашего усилителя). Реальный источник теперь представляется идеальным источником напряжения (т.е. способного выдавать любой ток без «просадки»), выдающего напряжение $U_{ИСТ}$ и подключенного последовательно к нему сопротивления $R_{ВЫХ}$ . Усилитель же представляется идеальным усилителем (т.е. с бесконечным входным сопротивлением, не потребляющим никакого тока от источника), обозначенным квадратом с буквой K, и подключенным параллельно к его входу резистором $R_{ВХ}$ .

Резисторы $R_{ВЫХ}$ и $R_{ВХ}$ образуют делитель напряжения, и напряжение на входе усилителя $U_{ВХ}$ оказывается равным

$U_{ВХ} = U_{ИСТ}\frac {R_{ВХ}}{R_{ВЫХ} + R_{ВХ}}$

Видно, что чем больше входное и меньше выходное сопротивления, тем меньше $U_{ВХ}$ будет отличаться от $U_{ИСТ}$ , т.е. тем меньше потерь будет при передаче от источника сигнала к усилителю. Поэтому источник сигнала стараются делать с малым выходным, а приемник (усилитель) с большим входным сопротивлением. Поскольку на входе усилителя стоит разделительный конденсатор, то можно считать, что входное сопротивление усилителя для постоянного напряжения равно бесконечности. Интерес представляет только входное сопротивление для переменной составляющей входного сигнала.

Для расчета входного напряжения подадим на вход усилителя напряжение $\Delta U_Б$ и посмотрим какой входной ток потечет через усилитель. Поскольку $\Delta U_Б$ — это напряжение, которое падает на резисторе $inline$ , то через данный резистор течет ток, равный $\Delta U_Б/R_Э$ . Это эмиттерный ток транзистора $\Delta I_Э$ , который складывается из тока базы и тока коллектора, большего тока базы в $\beta$ раз $\Delta I_Э = \Delta I_K + \Delta I_Б = (\beta +1) \Delta I_Б$ . Мы получаем, что входное сопротивление:

$R_{ВХ} = \frac {\Delta U_Б}{\Delta I_Б} = \Delta U_Б \frac {\beta +1}{\Delta I_Э} = (\beta +1)r_Э$

Входное сопротивление усилителя в $\beta +1$ раз больше сопротивления $inline$ . Этот результат также несложно понять. Если бы в модели транзистора не было источника тока, создающего коллекторный ток, то входное сопротивление было бы равно резистору $inline$ . Наличие источника тока приводит к тому, что практически весь ток эмиттера составляет ток коллектора, а ток базы лишь незначительную часть. Другими словами, ток базы ослабляется в $\beta +1$ раз, и соответственно во столько же раз повышается входное сопротивление. Как мы видим параметр $\beta$ транзистора влияет не на коэффициент усиления усилителя, а на его входное сопротивление. Чем больше $\beta$ , тем больше входное сопротивление усилителя.

Входной сигнал также создает некоторый ток через резистор $inline$ , который для переменных составляющих подключен параллельно со входным сопротивлением транзистора и несколько уменьшает входное сопротивление усилителя. Однако, как мы видели, сопротивление резистора $R_Б \approx 2 \beta R_Д = 2 \beta K r_Э \gg R_{ВХ}$ и его можно не учитывать.

Из выражения для коэффициента усиления по напряжению следует, что $inline$ . Подставляя данное выражение в формулу для входного сопротивления, получаем:

$R_{ВХ} = (\beta +1) \frac{R_Д}K \approx \frac{\beta}K R_Д$

Входное сопротивление усилителя довольно мало. Коэффициент усиления К и $\beta$ — сравнимые величины (оба порядка сотни) и, в зависимости от их соотношения, входное сопротивление усилителя может стать меньше сопротивления динамика. Поскольку выходное сопротивление смартфона также мало и составляет не более нескольких Ом, то при подключении усилителя к смартфону больших проблем не возникает. Однако если в качестве источника сигнала используется устройство с более высоким выходным сопротивлением, то при передаче между источником и усилителем сигнал может сильно ослабляться.

Конденсатор
Теперь давайте вернемся к разделительному конденсатору. Понятие сопротивления для конденсатора как таковое отсутствует, поскольку, например, он вообще не пропускает постоянное напряжение. Вместо сопротивления для конденсаторов используют понятие импеданса — некоторого аналога сопротивления для синусоидальных сигналов. Импеданс конденсатора зависит от частоты сигнала и равен $Z_C = \frac 1{2 \pi fС}$ , где f — частота сигнала. С уменьшением частоты импеданс конденсатора увеличивается, и он все хуже начинает проводить сигнал.

В усилителе конденсатор и входное сопротивление транзистора образуют делитель напряжения. Чтобы на конденсаторе не было слишком большого падения напряжения, импеданс конденсатора должен быть намного меньше входного сопротивления транзистора для самых низких частот, слышимых человеческим ухом (около 20 Гц). $Z_C \ll R_{ВХ}$ . Подставляя в данную формулу выражение для импеданса и произведя алгебраические преобразования получаем:

$C \gg \frac 1{2 \pi f_Н R_{ВХ}}, \quad \quad f_Н = 20 Гц$

.

Энергетические характеристики
Теперь давайте рассмотрим некоторые параметры, связанные с мощностью. Они нас будут интересовать с двух точек зрения. Во-первых хочется прикинуть выходную и потребляемую мощность усилителя. Во-вторых, хочется понять на какую мощность должны быть рассчитаны элементы усилителя.

Основные элементы усилителя, потребляющие и выделяющие мощность — это динамик и транзистор. Через них проходит значительный ток $inline$ и на них суммарно падает полное напряжение питания. Через резистор $inline$ и конденсатор С проходят незначительные ток базы и входной ток, которые сколь-нибудь значительного потребления мощности не вызывают, и мы их в расчет принимать не будем.

Мощность усилителя
Выходная мощность (громкость) усилителя определяется переменной составляющей выходного сигнала. Как мы выяснили в предыдущей части, максимальный размах выходного сигнала равен напряжению питания, т.е. амплитуда А переменной составляющей равна половине напряжения питания. Исходя из этого, максимальная выходная мощность усилителя при синусоидальном сигнале равна

$P_{ВЫХ} = \frac {A^2}{2R_Д} = \frac {U_{ПИТ}^2}{8R_Д}$

.

Потребляемая мощность и КПД
Потребляемая мощность усилителя примерна равна потребляемой мощности в отсутствие сигнала и определяется в основном током коллектора, протекающего через динамик и транзистор

$P_{ПОТР} \approx U_{ПИТ} I_{K0} = \frac {U_{ПИТ}^2}{2R_Д}$

Видно, что потребляемая мощность в 4 раза превосходит максимальную выходную мощность усилителя, и его КПД не превосходит 25%.

Мощность динамика
Необходимую максимальную мощность динамика мы посчитаем из расчета на наихудший для динамика случай, когда транзистор полностью открыт. Тогда через динамик проходит максимальный ток и падает напряжение равное напряжению питания

$P_{Дmax} = I_{Kmax}U_{ПИТ} =\frac {U_{ПИТ}^2}{R_Д}$

Следует заметить, что динамики не рассчитаны на то, чтобы через них протекала постоянная составляющая тока, поэтому мощность динамика лучше брать с запасом.

Мощность транзистора
Довольно интересным оказывается вопрос, какую максимальную мощность должен рассеивать транзистор. Если пренебречь малым током базы, то основная мощность, выделяемая на транзисторе будет за счет протекающего через транзистор коллекторного тока $inline$ . Выделяемая мощность будет зависеть от сопротивления между коллектором и эмиттером транзистора (под сопротивлением я здесь понимаю $R_{КЭ} = U_{КЭ}/I_K$ , т.е. для расчета транзистор заменен на резистор с таким сопротивлением, при котором получается такой же коллекторный ток). Выделяемая на транзисторе мощность равна $P_{ТР}=R_{КЭ}I_К^2$ . Учитывая, что ток $I_K = U_{ПИТ}/(R_Д + R_{КЭ})$ , получаем следующую зависимость потребляемой транзистором мощности от его сопротивления:

$P_{ТР}=\frac {U_{ПИТ}^2R_{КЭ}}{(R_Д + R_{КЭ})^2}$

Ниже приведен график зависимости потребляемой транзистором мощности от его сопротивления:

Видно, что если сопротивление транзистора очень велико по сравнению с сопротивлением динамика, то коллекторный ток становится малым и потребляемая транзистором мощность мала. Если сопротивление транзистора очень мало по сравнению с динамиком, то коллекторный ток большой (определяется сопротивлением динамика), но мало падение напряжения на транзисторе и, в результате потребляемая транзистором мощность опять оказывается мала. По похожей причине мало греются (потребляют мощность) хорошие проводники (очень малое сопротивление) и хорошие изоляторы (очень большое сопротивление).

Максимальная потребляемая транзистором мощность оказывается при сопротивлении транзистора равном сопротивлению динамика $R_{КЭ} = R_Д$ . В этом случае и ток коллектора и напряжение на транзисторе оказываются относительно большими. Это именно то сопротивление, которое необходимо для того, чтобы напряжение на динамике оказалось равным половине напряжения питания. Другими словами, транзистор работает в максимально невыгодных для себя, с точки зрения потребления энергии, условиях. Как ни странно, больше всего транзистор греется именно в отсутствие входного сигнала, когда его сопротивление совпадает с сопротивлением динамика. Подставляя в формулу для мощности транзистора его сопротивление, равное сопротивлению динамика, получаем максимальную мощность, которую должен быть способен рассеивать транзистор:

$P_{ТРмакс}= \frac {U_{ПИТ}^2}{4R_Д}$

Если кому-то не нравится в таких рассуждениях замена транзистора на резистор, то можно легко рассчитать непосредственно при каком коллекторном токе потребляемая транзистором мощность будет максимальной.

Потребляемая транзистором мощность равна произведению коллекторного тока, проходящего через транзистор, на напряжение между его коллектором и эмиттером $P_{ТР} = I_KU_{КЭ}$ . Напряжение $U_{КЭ}$ само зависит от коллекторного тока и равно $U_{ПИТ} - U_Д = U_{ПИТ} - R_ДI_K$ . Подставляя данное выражение для напряжения на транзисторе в потребляемую мощность, получаем:

$P_{ТР} = I_KU_{КЭ} = I_K(U_{ПИТ} - R_ДI_K) = -R_ДI_K^2 + U_{ПИТ}I_K$

Видно, что зависимость потребляемой транзистором мощности от коллекторного тока — это парабола с ветвями направленными вниз, а значит у нее есть максимум, расположенный в ее вершине. Используя стандартный метод выделения полного квадрата получаем:

$P_{ТР} = -R_ДI_K^2 + U_{ПИТ}I_K = - R_Д (I_K - \frac{U_{ПИТ}}{2R_Д} )^2 + \frac{U_{ПИТ}^2}{4R_Д}$

Очевидно, что $P_{ТР}$ максимальна, когда $I_K - \frac {U_{ПИТ}}{2R_Д} = 0$ (что, как нетрудно видеть, как раз и соблюдается при коллекторном токе, при котором напряжение на динамике равно половине напряжения питания) и равна $\frac{U_{ПИТ}^2}{4R_Д}$ .

Данную зависимость потребляемой энергии от сопротивления транзистора используют, например в технологии Широтно-Импульсной Модуляции (ШИМ). В данной технологии транзистор работает в ключевом режиме, т.е. либо полностью закрыт (очень большое сопротивление), либо полностью открыт (очень малое сопротивление). В результате, потребляемая транзистором мощность оказывается мала и он может управлять значительными нагрузками.

Кроме необходимой мощности транзистор также должен выдерживать максимальный проходящий через него ток коллектора $I_{Kmax} = \frac{U_{ПИТ}}{R_Д}$ и максимальное напряжение между коллектором и эмиттером равное напряжению питания.

Амплитудно-Частотная Характеристика
АЧХ усилителя зависит от разделительного конденсатора и, при достаточно большой его емкости, представляет собой ровную горизонтальную прямую во всем диапазоне звуковых частот.

Основные формулы и соотношения
Ниже единым списком приведен перечень основных формул и соотношений, полезных для анализа усилителя и его элементов:
Выходная мощность усилителя (для синусоидального сигнала): $P_{ВЫХ} = \frac {U_{ПИТ}^2}{8R_Д}$
Потребляемая мощность усилителя: $P_{ПОТР} = \frac {U_{ПИТ}^2}{2R_Д}$

Коэффициент усиления усилителя: $K = \frac {U_{ПИТ}}{2U_T} = 20 U_{ПИТ}$ , где $U_{ПИТ}$ выражено в Вольтах

Входное сопротивление усилителя: $R_{ВХ} = \frac{\beta}K R_Д$

Мощность динамика: $P_{Д} > \frac {U_{ПИТ}^2}{R_Д}$
Мощность транзистора: $P_{ТР} > \frac {U_{ПИТ}^2}{4R_Д}$
Максимальный коллекторный ток транзистора: $I_{Kmax} > \frac{U_{ПИТ}}{R_Д}$
Максимальное напряжение коллектор-эмиттер транзистора: $U_{KЭmax} > U_{ПИТ}$
Сопротивление резистора: $R_Б = 2 \beta R_Д \frac {U_{ПИТ}-0.7В}{U_{ПИТ}} \approx 2 \beta R_Д$
Емкость конденсатора: $C \gg \frac 1{2 \pi f_Н R_{ВХ}}$ , где $inline$ = 20 Гц

Пример расчета
Допустим, мы хотим сделать усилитель, работающий от источника напряжения 5 В и использующий динамик 8 Ом. Сразу получаем, что коэффициент усилителя по напряжению K = 20*5 = 100, а выходная мощность усилителя $P_{ВЫХ} = 5^2/(8*8) \approx$ 0.4 Вт. При этом потреблять он будет $P_{ПОТР} = 5^2/(2*8) \approx$ 1.56 Вт.

Посчитаем какой мощностью должны обладать динамик и транзистор. Используя формулы для расчета мощности, получаем, что мощность динамика $P_{Д}$ должна быть не менее $5^2/8 \approx$ 3.13 Вт, а мощность транзистора $P_{Д}$ не менее $5^2/(4*8) \approx$ 0.79 Вт. При этом максимальный коллекторный ток транзистора $I_{Kmax}$ должен быть не менее $5/8 \approx$ 0.63 А, а максимальное напряжение коллектор-эмиттер $U_{KЭmax}$ не менее 5 В.

Подобрав подходящий по мощности транзистор, измеряем его $\beta$ . Для измерения $\beta$ можно воспользоваться, например, такой схемой:

Поскольку ток коллектора равен $I_{K0} = \beta I_{Б0} = \beta \frac{U_{ПИТ}-0.7}{R}$ , то $\beta$ отсюда выражается следующим образом:

$\beta = \frac {RI_{К0}}{U_{ПИТ}-0.7} \approx \frac {RI_{К0}}{U_{ПИТ}}$

Резистор $inline$ в измерительной схеме нужно брать с большим сопротивлением, порядка 1 МОм, поскольку в коллекторной цепи транзистора нет резистора или динамика, ограничивающего коллекторный ток, и в случае слишком большого тока базы и, как следствие, коллекторного тока транзистор может сгореть.

Допустим, мы получили значение $\beta$ = 80, после чего находим сопротивление резистора $R_Б = 2*80*8*(4.3/5) \approx$ 1.1 кОм и входное сопротивление усилителя $R_{ВХ} = (80/100)*8$ = 6.4 Ом. Нам осталось найти емкость конденсатора: $С \gg 1/(6.28*20*6.4) \approx$ 1250 мкФ.

Конечно, это все лишь теоретические расчеты, основанные на довольно простой модели транзистора, и которые могут не учитывать особенности конкретной конструкции. Поэтому теперь самое интересное — сделать это все с реальными деталями и посмотреть, что же получилось на самом деле :)

Недостатки
Ниже перечислены основные недостатки нашего усилителя:

На динамике постоянно присутствует напряжение в среднем равное половине напряжения питания.
Усилитель имеет малое входное сопротивление.
Усилитель имеет большое энергопотребление и низкий КПД.
У усилителя большие нелинейные искажения.
Параметры и номиналы деталей усилителя зависят от характеристик конкретного транзистора (коэффициента усиления транзистора по току $\beta$ ). Коэффициент $\beta$ зависит от температуры транзистора и может меняться из-за изменения температуры окружающей среди или нагрева транзистора в процессе своей работы.

Как мы видим, у данной схемы много различных недостатков. Поэтому данная схема редко где используется, кроме как в любительских целях. Преимущество ее заключается в минимальности, что позволяет ее легко собрать и экспериментировать.

Существуют другие, улучшенные схемы усилителя на одном транзисторе. Во многих из них при помощи того или иного вида отрицательной обратной связи разменивается достаточно высокий коэффициент усиления на качество. Получается усилитель, который, усиливает в несколько раз меньше, но с меньшими искажениями, большим входным сопротивлением, меньшей зависимостью от конкретного транзистора и т.д. Также динамик обычно подключают через разделительный конденсатор, чтобы через него не протекал постоянный ток.

Однако не все недостатки данного усилителя могут быть устранены, если мы остаемся в рамках одного транзистора. Усилитель на одном транзисторе всегда будет оставаться в классе A, т.е. через транзистор будет даже в отсутствие сигнала протекать значительный (если мы хотим получить большую выходную мощность) ток и рассеиваться значительная мощность. Усилитель будет неминуемо греться и потреблять много энергии. Для устранения данного недостатка нужны уже многотранзисторные схемы.